Arnold diffuziyasi

Amaliy matematikada Arnold diffuziyasi integrallanuvchi Gamilton tizimlarining beqarorligi hodisasidir. Bu hodisa 1964 yilda ushbu sohada birinchi boʻlib natijani eʼlon qilgan Vladimir Arnold sharafiga nomlangan Aniqrogʻi, Arnold diffuziyasi harakat oʻzgaruvchilarida sezilarli oʻzgarishlarni koʻrsatadigan deyarli integrallanadigan Gamilton tizimlariga yechimlar mavjudligini tasdiqlovchi natijalarni anglatadi.

Arnold diffuziyasi Gamilton sistemalarida har qanday cheklovlar bilan bogʻlanmagan (yaʼni harakat doimiylaridan kelib chiqadigan Lagrangian tori bilan chegaralanmagan) faza fazosining bir qismida ergodik teorema tufayli traektoriyalarning tarqalishini tasvirlaydi. Bu erkinlik darajasi N =2 dan ortiq boʻlgan tizimlarda sodir boʻladi, chunki N oʻlchovli oʻzgarmas tori 2 N −1 oʻlchovli fazali fazoni endi ajratmaydi. Shunday qilib, oʻzboshimchalik bilan kichik tebranish bir qator traektoriyalarni vayron qilingan tori tomonidan qoldirilgan faza boʻshligʻining butun qismi boʻylab psevdo-tasodifiy yurishiga olib kelishi mumkin.

Kelib chiqishi va bayonot

Integratsiyalanadigan tizimlar uchun harakat oʻzgaruvchilari saqlanishi mavjud. KAM teoremasiga koʻra, agar biz integral boʻladigan tizimni biroz bezovta qilsak, unda koʻpchilik, garchi hamma boʻlmasa ham, bezovtalanuvchi tizimning yechimlari doimo buzilmagan tizimga yaqin boʻladi. Xususan, harakat oʻzgaruvchilari dastlab saqlanib qolganligi sababli, teorema bizga bezovtalanuvchi tizimning koʻplab yechimlari uchun harakatda faqat kichik oʻzgarishlar mavjudligini aytadi.

Biroq, Arnoldning maqolasida birinchi boʻlib taʼkidlanganidek, deyarli integrallanadigan tizimlar mavjud boʻlib, ular uchun harakat oʻzgaruvchilarida oʻzboshimchalik bilan katta oʻsishni koʻrsatadigan echimlar mavjud. Aniqrogʻi, Arnold Gamiltonian bilan deyarli integrallanadigan Gamilton tizimi misolini koʻrib chiqdi.

$H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}$

Ushbu Gamiltonianning dastlabki uchta sharti rotator-maatnik tizimini tavsiflaydi. Arnold ushbu tizim uchun har qanday tanlov uchun ekanligini koʻrsatdi $I_{+}>I_{-}>0$, va uchun $0<\mu \ll \epsilon \ll 1$, qaysi tizimga yechim bor

$I(0)<I_{-}{\text{ and }}I(T)>I_{+}$

bir muddat $T\gg 0.$

Uning isboti „moʻylovli“ torining „oʻtish zanjirlari“ mavjudligiga, yaʼni oʻtish dinamikasiga ega boʻlgan tori ketma-ketligiga tayanadi, shundayki, bu torilardan birining beqaror kollektori (moʻylovi) keyingisining barqaror kollektori (moʻylovi) bilan koʻndalang kesishadi. bitta. Arnold "bizning misolimizdagi beqarorlik umumiy holatga (masalan, uchta jism muammosiga) ham tegishli ekanligini kafolatlaydigan „oʻtish zanjirlari“ mexanizmi" deb taxmin qildi.

KAM teoremasi boʻyicha maʼlumotni da va fizikadan olingan maʼlumotlarga ega boʻlgan qatʼiy matematik natijalar toʻplamini da topish mumkin.

Umumiy holat

Arnold modelida bezovtalanish atamasi alohida turga ega. Arnoldning diffuziya muammosining umumiy holati shakllardan birining Gamilton tizimlariga tegishli.

(1) $H_{\epsilon }(I,\phi ,p,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)$

bu yerda $(I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}$, $m,n\geq 1$, va $H_{0}(I,p,q)$ rotator-maatnik tizimini tasvirlaydi, yoki

(2) $H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,t)$

bu yerda $(I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}$, $N\geq 2.$

(1) dagi kabi tizimlar uchun bezovtalanmagan Gamiltonian giperbolik barqaror va beqaror manifoldlarga ega boʻlgan invariant torilarning silliq oilalariga ega; bunday tizimlar a priori beqaror deb ataladi. (2) dagi kabi sistema uchun buzilmagan Gamiltonianning faza fazosi Lagranj invariant tori bilan qoplangan; bunday tizimlar a priori barqaror deb ataladi. Ikkala holatda ham Arnold diffuziya muammosi „umumiy“ tizimlar uchun mavjudligini tasdiqlaydi. $\rho >0$ har bir kishi uchun shunday $\epsilon >0$ etarlicha kichik boʻlgan eritma egri chiziqlari mavjud

$\|I(T)-I(0)\|\geq \rho$

bir muddat $T\gg 0.$ Aprior beqaror va aprior barqaror tizim kontekstida mumkin boʻlgan generiklik shartlarining aniq formulalarini mos ravishda da topish mumkin. Norasmiy ravishda, Arnold diffuziya muammosi, kichik buzilishlar katta effektlarga toʻplanishi mumkinligini aytadi.

Apriori beqaror holatda soʻnggi natijalarga, va a priori barqaror holatda kiradi.

Cheklangan uch jismli muammo kontekstida Arnold diffuziyasini shunday talqin qilish mumkinki, massiv jismlarning elliptik orbitalarining eksantrikligining barcha etarlicha kichik, nolga teng boʻlmagan qiymatlari uchun energiya boʻylab echimlar mavjud. ahamiyatsiz massa ekssentriklikdan mustaqil boʻlgan miqdorga oʻzgaradi.

Manbalar

• KAM teoremasi
• Nexoroshevning ehtimoliy hisob-kitobi
• Arnold, Vladimir I. (1964). „Instability of dynamical systems with several degrees of freedom“. Soviet Mathematics. 5: 581-585.