Aylanadigan sferalar

Isaak Nyutonning aylanuvchi sharlar argumenti haqiqiy aylanish harakatini ikkita bir xil sferalarni birlashtiruvchi ipdagi kuchlanishni kuzatish orqali aniqlash mumkinligini koʻrsatishga harakat qiladi. Dalilning asosi shundan iboratki, barcha kuzatuvchilar ikkita kuzatishni amalga oshiradilar: jismlarni birlashtirgan ipning kuchlanishi (barcha kuzatuvchilar uchun bir xil) va sharlarning aylanish tezligi (aylanish tezligi har xil boʻlgan kuzatuvchilar uchun har xil). . Faqat haqiqiy aylanmaydigan kuzatuvchi uchun ipning tarangligi faqat kuzatilgan aylanish tezligi yordamida tushuntiriladi. Boshqa barcha kuzatuvchilar uchun „tuzatish“ (markazdan qochma kuch) talab qilinadi, bu esa kuzatilgan aylanish tezligidan foydalangan holda hisoblangan kuchlanish kutilganidan farq qiladi^[1]. Haqiqiy harakat va dam olishning „xususiyatlari, sabablari va oqibatlari“ dan olingan beshta dalildan biri boʻlib, uning fikrini qoʻllab-quvvatlaydi, bu umuman olganda, haqiqiy harakat va dam olishni boshqa jismlarga nisbatan harakat yoki dam olishning alohida holatlari sifatida belgilash mumkin emas, lekin. oʻrniga faqat mutlaq fazoga mos yozuvlar bilan belgilanishi mumkin. Shu bilan bir qatorda, ushbu tajribalar " mutlaq aylanish " deganda nimani anglatishini aniq taʼriflaydi va „ nimaga nisbatan aylanish?“ ^[2] Umumiy nisbiylik mutlaq fazodan va sababi tizimdan tashqarida boʻlgan fizikadan, fazo-vaqt geodeziyasi tushunchasidan voz kechadi^[3].

Nazariy tushuntirish

Nyuton mutlaq fazo idrok qilinadigan narsa emasligidan kelib chiqib, biz jismlarning haqiqiy harakatlarini eksperimental tarzda aniqlashimiz mumkinligi haqidagi muammoni hal qilishga qiziqdi. Uning soʻzlariga koʻra, bunday qatʼiylikni jismlarning bir-biriga nisbatan koʻrinadigan harakatlarini emas, balki harakatning sabablarini (yaʼni kuchlarni) kuzatish orqali amalga oshirish mumkin (chelak argumentida boʻlgani kabi). Sabablarni kuzatish mumkin boʻlgan misol sifatida, agar kosmosda suzib yuruvchi ikkita globus shnur bilan bogʻlangan boʻlsa, shnurdagi kuchlanish miqdorini oʻlchaydi va vaziyatni baholash uchun boshqa hech qanday maslahatlar boʻlmasa, ikkita ob’ektning qanchalik tez harakat qilishini koʻrsatishning oʻzi kifoya. umumiy massa markazi atrofida aylanadi. (Bu tajriba kuchni, kuchlanishni kuzatishni oʻz ichiga oladi). Shuningdek, aylanish hissi — u soat yoʻnalishi boʻyichami yoki teskari yoʻnalishda boʻladimi — globusning qarama-qarshi tomonlariga kuch qoʻllash va bu shnurning kuchlanishining oshishi yoki pasayishiga olib kelishini aniqlash orqali aniqlanishi mumkin. (yana kuch ishtirokida). Shu bilan bir qatorda, aylanish hissini globuslarning koʻrinadigan harakatini, oldingi usullarga koʻra, aylanish holatida emasligi aniqlangan jismlarning fon tizimiga nisbatan oʻlchash yoʻli bilan aniqlash mumkin. Nyuton vaqti, sobit yulduzlar .

1846 yilda Endryu Motning Nyuton soʻzlarining tarjimasida^[4] ^[5]:

Haqiqiy harakatlarning farqlari bo'lgan qisman zohiriy harakatlardan bizni boshqaradigan ba'zi dalillarimiz bor; qisman haqiqiy harakatlarning sabablari va oqibatlari bo'lgan kuchlardan. Misol uchun, agar ikkita globus bir-biridan ma'lum masofada joylashgan bo'lsa, ularni bog'laydigan shnur orqali ularning umumiy og'irlik markazi atrofida aylansa; Biz shnurning tarangligidan globuslarning harakat o'qidan uzoqlashishga intilishini aniqlashimiz mumkin. ... Shunday qilib, biz globuslarni solishtirish mumkin bo'lgan tashqi yoki aqlli hech narsa bo'lmagan ulkan vakuumda ham bu aylanma harakatning miqdori va aniqligini topishimiz mumkin.
— Isaak Nyuton, Principia, 1-kitob, Scholium

Ushbu taklifni umumlashtirish uchun Borndan iqtibos keltiramiz^[6]:

Agar Yer tinch holatda bo'lsa va uning o'rniga butun yulduz tizimi teskari ma'noda er atrofida yigirma to'rt soat ichida bir marta aylansa, Nyutonning fikriga ko'ra, markazdan qochma kuchlar [hozirda yerning aylanishi bilan bog'liq]. sodir bo'lmaydi.
— Maks Born: Eynshteynning nisbiylik nazariyasi, 81-82-betlar.

Mach argument bilan baʼzi bir muammoga duch kelib, aylanuvchi shar tajribasini hech qachon boʻsh koinotda amalga oshirish mumkin emasligini taʼkidladi, bu yerda Nyuton qonunlari amal qilmaydi, shuning uchun tajriba haqiqatan ham bizning koinotimizda sharlar aylanganda nima sodir boʻlishini koʻrsatadi va shuning uchun, masalan, koinotning butun massasiga nisbatan faqat aylanishni koʻrsatishi mumkin^[7].

Men uchun faqat nisbiy harakatlar mavjud... Jism qo'zg'almas yulduzlarga nisbatan aylanganda markazdan qochma kuchlar hosil bo'ladi; u qo'zg'almas yulduzlarga nisbatan emas, balki boshqa jismga nisbatan aylanganda markazdan qochma kuchlar hosil bo'lmaydi.
— Ernst Mach; Ciufolini va Wheeler tomonidan keltirilganidek: Gravitatsiya va inertiya , p. 387

Bu qarama-qarshilikdan qochadigan talqin shundan iboratki, aylanuvchi sharlar tajribasi hech narsaga (masalan, mutlaq fazo yoki qoʻzgʻalmas yulduzlarga) nisbatan aylanishni aniq belgilamaydi; balki eksperiment mutlaq aylanish deb ataladigan harakat bilan nimani anglatishini operatsion taʼrifidir.

1-rasm: Ip bilan bogʻlangan va ω burchak tezligida aylanadigan ikkita shar. Aylanish tufayli sharlarni bir-biriga bogʻlab turgan ip kuchlanish ostida.

2-rasm: Bogʻlash ipidagi keskinlik bilan taʼminlangan sferalarga markazlashtirilgan kuchlarni koʻrsatuvchi inertial mos yozuvlar tizimida aylanuvchi sharlarning portlatilgan koʻrinishi.

Argumentini shakllantirish

Ushbu shar misoli Nyuton tomonidan mutlaq fazoga nisbatan aylanishni aniqlashni muhokama qilish uchun ishlatilgan^[8]. Ipdagi kuchlanishni hisobga olish uchun zarur boʻlgan xayoliy kuchni tekshirish kuzatuvchi uchun ular aylanyaptimi yoki yoʻqmi, deb qaror qilishning bir usuli hisoblanadi — agar xayoliy kuch nolga teng boʻlsa, ular aylanmaydi^[9]. (Albatta, gravitron oʻyin-kulgi kabi ekstremal holatda, siz aylanayotganingizga koʻp ishontirishga hojat yoʻq, lekin Yer yuzasida turganingizda, masala yanada nozikroq) Quyida ushbu kuzatish ortidagi matematik tafsilotlar keltirilgan.

1-rasmda ikkita bir xil sharning ularni birlashtiruvchi ipning markazi atrofida aylanayotgani koʻrsatilgan. Aylanish oʻqi oʻng qoʻl qoidasi bilan berilgan yoʻnalish va aylanish tezligiga teng boʻlgan kattaligi Ω vektor sifatida koʻrsatilgan: Ω| = ω. Aylanishning burchak tezligi ω vaqtga bogʻliq boʻlmagan (bir xil aylanma harakat) qabul qilinadi. Aylanish tufayli ip kuchlanish ostida. (Qarang: reaktiv markazdan qochma kuch) Keyinchalik bu tizimning tavsifi inertial sistema nuqtai nazaridan va aylanuvchi sanoq sistemasidan keltirilgan.

Inertsial ramka

Ipning oʻrta nuqtasida joylashgan inertial ramkani qabul qiling. Toʻplar bizning koordinata tizimimizning kelib chiqishi haqida aylana boʻylab harakatlanadi. Avval ikkita toʻpdan biriga qarang. Doimiy tezlikda bir tekis harakatlanmaydigan, balki doimiy tezlikda aylana boʻylab harakatlanadigan aylana yoʻlda harakatlanish uchun toʻpga uning tezligi yoʻnalishini doimiy ravishda oʻzgartirib turuvchi kuch kerak boʻladi. Bu kuch ipning yoʻnalishi boʻylab ichkariga yoʻnaltiriladi va markazga tortuvchi kuch deb ataladi. Boshqa toʻp ham xuddi shunday talabga ega, lekin ipning qarama-qarshi uchida boʻlish uchun bir xil oʻlchamdagi, lekin yoʻnalish boʻyicha qarama-qarshi boʻlgan markazga yoʻnaltirilgan kuch talab qilinadi(2-rasmga qarang). Bu ikki kuch, shuningdek, 2-rasmda koʻrsatilgan, ipni kuchlanish ostida qoʻyib, ip bilan taʼminlanadi.

Aylanadigan ramka

Ipning oʻrta nuqtasida aylanadigan ramkani qabul qiling. Faraz qilaylik, ramka sharlar bilan bir xil burchak tezligida aylanadi, shuning uchun toʻplar bu aylanadigan ramkada harakatsiz koʻrinadi. Toʻplar harakat qilmayotganligi sababli, kuzatuvchilar ular dam olishda ekanligini aytishadi. Agar ular Nyutonning inertsiya qonunini qoʻllasalar, ular toʻplarga hech qanday kuch taʼsir qilmasligini aytishadi, shuning uchun ipni boʻshashtirish kerak. Biroq, ular ipning kuchlanish ostida ekanligini aniq koʻrishadi. (Masalan, ular ipni ajratib, uning oʻrtasiga choʻzilib ketadigan buloqni qoʻyishlari mumkin edi)^[10]. Ushbu keskinlikni hisobga olish uchun ular oʻzlarining ramkalarida markazdan qochma kuch ikkita sharga taʼsir qilib, ularni bir-biridan ajratib olishni taklif qiladilar. Bu kuch hech qayerdan kelib chiqmaydi — bu aylanuvchi dunyoda shunchaki „hayot haqiqati“ va ular kuzatgan hamma narsaga taʼsir qiladi, nafaqat bu sohalarda. Bu hamma joyda mavjud boʻlgan markazdan qochma kuchiga qarshilik koʻrsatishda, sharlar tinch holatda boʻlishiga qaramay, ularning kuzatuvini hisobga olgan holda, ip kuchlanish ostida joylashtiriladi^[11].

Koriolis kuchi

Agar sharlar inertial ramkada aylanmasa- chi (torning kuchlanishi nolga teng)? Keyin aylanadigan ramkadagi ipning kuchlanishi ham nolga teng. Lekin bu qanday boʻlishi mumkin? Aylanadigan ramkadagi sharlar endi aylanayotgandek koʻrinadi va buning uchun ichki kuch talab qilinishi kerak. Bir tekis aylanma harakat tahliliga koʻra^[12] ^[13]:

\mathbf {F} _{\mathrm {centripetal} }=-m\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times x_{B}} \right)\

=-m\omega ^{2}R\ \mathbf {u} _{R}\ ,

Bu yerda u_R — aylanish oʻqidan sharlarning biriga ishora qiluvchi birlik vektor va Ω - burchakli aylanishni ifodalovchi vektor, oʻng qoʻl qoidasi bilan berilgan ω kattaligi va aylanish tekisligiga normal yoʻnalish, m toʻpning massasi va R - aylanish oʻqidan sharlargacha boʻlgan masofa (oʻzgartirish vektorining kattaligi, |x_B| = R, sharlarning bir yoki boshqasini joylashtiradigan). Aylanadigan kuzatuvchining fikriga koʻra, ipning kuchlanishi avvalgidan ikki baravar koʻp boʻlishi kerak emasmi (markazdan qochma kuchdan kelib chiqadigan kuchlanish va markazdan qoʻzgʻatuvchi aylanish kuchini taʼminlash uchun zarur boʻlgan qoʻshimcha kuchlanish)? Aylanuvchi kuzatuvchining nol kuchlanishni koʻrishining sababi, aylanuvchi dunyodagi yana bir xayoliy kuch, harakatlanuvchi jismning tezligiga bogʻliq boʻlgan Koriolis kuchidir . Bu nol kuchlanish holatida, aylanuvchi kuzatuvchining fikriga koʻra, sferalar hozir harakatlanmoqda va Koriolis kuchi (tezlikka bogʻliq) faollashadi. Fictitive force maqolasiga koʻra, Koriolis kuchi^[12]:

\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\

=-2m\omega \left(\omega R\right)\ \mathbf {u} _{R},

bu yerda R - aylanish markazidan jismgacha boʻlgan masofa, v_B — Koriolis kuchi taʼsirida jismning tezligi, |v_B| = ωR.

Ushbu misol geometriyasida bu Koriolis kuchi hamma joyda joylashgan markazdan qochma kuchdan ikki baravar kattaroq va yoʻnalishi boʻyicha mutlaqo qarama-qarshidir. Shuning uchun, u birinchi misolda topilgan hamma joyda mavjud boʻlgan markazdan qochma kuchni bekor qiladi va bir xil aylanma harakat talab qiladigan markazdan qochma kuchni taʼminlash uchun bir qadam oldinga boradi, shuning uchun aylanuvchi kuzatuvchi ipda kuchlanishning hojati yoʻqligini hisoblaydi — Koriolis kuchi hamma narsaga qaraydi.

Umumiy holati

Agar sharlar bir burchak tezligida aylansa, aytaylik ω_I(I = inertsial) va ramka boshqa tezlikda ω_R(R = aylanish) aylansa nima boʻladi? Inertial kuzatuvchilar dumaloq harakatni koʻradilar va ipdagi taranglik quyidagi sohalarga markazga yoʻnaltirilgan ichki kuch taʼsir qiladi:

\mathbf {T} =-m\omega _{I}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .

Bu kuch, shuningdek, aylanuvchi kuzatuvchilar tomonidan koʻrilgan keskinlikdan kelib chiqadigan kuchdir. Aylanadigan kuzatuvchilar sferalarni aylanma harakatda burchak tezligi ω_s = ω_I — ω_R (S = sharlar) bilan koʻradilar. Yaʼni, agar ramka sharlarga qaraganda sekinroq aylansa, ω_S > 0 va sharlar aylana boʻylab soat miliga teskari yoʻnalishda oldinga siljiydi, tezroq harakatlanuvchi ramka uchun esa ω_S < 0 va sharlar aylana boʻylab soat yoʻnalishi boʻyicha chekinayotgandek koʻrinadi. Ikkala holatda ham aylanuvchi kuzatuvchilar aylanma harakatni koʻradilar va aniq ichkariga markazlashtirilgan kuch talab qiladilar:

\mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=-m\omega _{S}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .

Biroq, bu kuch ipning kuchlanishi emas. Shunday qilib, aylanish kuzatuvchilari (inertial kuzatuvchilar uni xayoliy kuch deb ataydigan) kuch mavjud degan xulosaga kelishadi:

\mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=\mathbf {T} +\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }\,

yoki,

\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-m\left(\omega _{S}^{2}R-\omega _{I}^{2}R\right)\mathbf {u} _{R}\ .

Xayoliy kuch ω_I va ω_S ning qaysi biri kattaroq boʻlishiga qarab belgini oʻzgartiradi. Belgining oʻzgarishining sababi shundaki, ω_I > ω_S boʻlganda, sharlar haqiqatda aylanuvchi kuzatuvchilar oʻlchaganidan tezroq harakat qiladi, shuning uchun ular ipning aslida ular kutganidan kattaroq kuchlanishni oʻlchaydilar; demak, xayoliy kuch kuchlanishni oshirishi kerak (tashqariga ishora qiladi). ω_I<ω_S boʻlganda, narsalar teskari boʻladi, shuning uchun xayoliy kuch kuchlanishni kamaytirishi kerak va shuning uchun qarama-qarshi belgiga ega (ichkariga ishora qiladi).

Xayoliy kuch ad hocmi ?

F_Fict ning kiritilishi aylanma kuzatuvchilar va inertial kuzatuvchilarga ipning kuchlanishi boʻyicha kelishib olish imkonini beradi. Biroq, biz shunday deb soʻrashimiz mumkin: "Ushbu yechim boshqa vaziyatlarda umumiy tajribaga mos keladimi yoki bu oddiygina „pishirilgan“ maxsus yechimmi?" Bu savolga javob F_Fict uchun bu qiymat umumiy natijaga (Fictitive kuchda olingan) qanday kvadratlarga toʻgʻri kelishini koʻrish orqali beriladi^[14]:

\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})

\ -m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ .

B pastki belgisi inertial boʻlmagan koordinatalar tizimiga tegishli miqdorlarni bildiradi. Toʻliq yozilgan maʼlumotlar Xayoliy kuchda. Doimiy burchak tezligi uchun oxirgi muddat nolga teng. Boshqa shartlarni baholash uchun bizga sohalardan birining pozitsiyasi kerak:

\mathbf {x} _{B}=R\mathbf {u} _{R}\,

va aylanuvchi ramkada koʻrinib turganidek, bu sharning tezligi:

\mathbf {v} _{B}=\omega _{S}R\mathbf {u} _{\theta }\ ,

bu yerda u _th — u _R ga perpendikulyar harakat yoʻnalishiga ishora qiluvchi birlik vektor.

Ramka ω_R tezlikda aylanadi, shuning uchun aylanish vektori Ω = ω_R u_z (u_z a birlik vektor z — yoʻnalishda) va Ω × u_R = ω_R (u_z × u_R) = ω_R u_θ; Ω × u_θ = −ω_R u_R_. Bunda markazdan qochma kuch:

\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})=m\omega _{R}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ ,

bu tabiiy ravishda faqat ramkaning aylanish tezligiga bogʻliq va har doim tashqarida. Koriolis kuchi

\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}=2m\omega _{S}\omega _{R}R\mathbf {u} _{R}

va sharlar ramkadan tezroq harakat qilganda tashqi tomonga (ω_S > 0) va sharlar ramkadan sekinroq harakat qilganda ichkariga (ω_S > 0) boʻladigan belgini oʻzgartirish qobiliyatiga ega^[15]. Shartlarni birlashtirish^[16]:

\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }

=\left(m\omega _{R}^{2}R+2m\omega _{S}\omega _{R}R\right)\mathbf {u} _{R}=m\omega _{R}\left(\omega _{R}+2\omega _{S}\right)R\mathbf {u} _{R}

=m(\omega _{I}-\omega _{S})(\omega _{I}+\omega _{S})\ R\mathbf {u} _{R}=-m\left(\omega _{S}^{2}-\omega _{I}^{2}\right)\ R\mathbf {u} _{R}.

Binobarin, aylanuvchi sharlar muammosi uchun yuqorida topilgan xayoliy kuch umumiy natijaga mos keladi va bu bitta misol uchun kelishuvga erishish uchun shunchaki „pishirilgan“ maxsus yechim emas. Qolaversa, aynan Koriolis kuchi, markazdan qochma kuchning hissasi doimo tashqariga qaraganligi sababli, ω_I, ω_S ning qaysi biri katta boʻlishiga qarab, xayoliy kuchning belgisini oʻzgartirishga imkon beradi.

Aylanish va kosmik fon nurlanishi

Koinot fon nurlanishining izotropiyasi koinot aylanmasligining yana bir koʻrsatkichidir^[17].

Manbalar

↑ See Louis N. Hand. Analytical Mechanics. Cambridge University Press, 1998 — 324-bet. ISBN 0-521-57572-9. and I. Bernard Cohen. The Cambridge companion to Newton. Cambridge University Press, 2002 — 43-bet. ISBN 0-521-65696-6.
↑ Robert Disalle. The Cambridge Companion to Newton I. Bernard Cohen: . Cambridge University Press, 2002 — 43-bet. ISBN 0-521-65696-6.
↑ Gilson, James G. (September 1, 2004), Mach's Principle II, arXiv:physics/0409010, Bibcode:2004physics...9010G
↑ See the Principia on line at „Definitions“. The Principia. Qaraldi: 2010-yil 13-may.
↑ Max Born. Einstein's Theory of Relativity. Courier Dover Publications, 1962 — 80-bet. ISBN 0-486-60769-0. „inertial forces.“
↑ Max Born. Einstein's Theory of Relativity, Greatly revised and enlarged, Courier Dover Publications, 1962 — 82-bet. ISBN 0-486-60769-0. „inertial forces.“
↑ Ignazio Ciufolini. Gravitation and Inertia. Princeton University Press, 1995 — 386–387-bet. ISBN 0-691-03323-4.
↑ Max Born. Einstein's Theory of Relativity. Courier Dover Publications, 1962 — Figure 43, p. 79-bet. ISBN 0-486-60769-0. „inertial forces.“
↑ D. Lynden-Bell. Relativistic Astrophysics Igorʹ Dmitrievich Novikov: . Cambridge University Press, 1996 — 167-bet. ISBN 0-521-62113-5.
↑ Barry Dainton. Time and Space. McGill-Queen's Press, 2001 — 175-bet. ISBN 0-7735-2306-5.
↑ Jens M. Knudsen. Elements of Newtonian Mechanics. Springer, 2000 — 161-bet. ISBN 3-540-67652-X.
↑ ^12,0 ^12,1 Georg Joos. Theoretical Physics. New York: Courier Dover Publications, 1986 — 233-bet. ISBN 0-486-65227-0.
↑ John Robert Taylor. Classical Mechanics. Sausalito CA: University Science Books, 2004 — 348–349-bet. ISBN 1-891389-22-X.
↑ Many sources are cited in Fictitious force. Here are two more: PF Srivastava. Mechanics. New Delhi: New Age International Publishers, 2007 — 43-bet. ISBN 978-81-224-1905-4. and NC Rana. Mechanics. New Delhi: Tata McGraw-Hill, 2004 — 99ff-bet. ISBN 0-07-460315-9.
↑ The case ω_S < 0 applies to the earlier example with spheres at rest in the inertial frame.
↑ This result can be compared with Eq. (3.3) in Stommel and Moore. They obtain the equation ${\ddot {r}}-\omega _{S}^{2}r=2\omega _{S}\omega _{R}r+\omega _{R}^{2}r$ where $\omega _{S}={\dot {\phi }}'$ and $\omega _{R}=\Omega \$ in their notation, and the left-hand side is the radial acceleration in polar coordinates according to the rotating observers. In this example, their Eq. (3.4) for the azimuthal acceleration is zero because the radius is fixed and there is no angular acceleration. See Henry Stommel. An Introduction to the Coriolis Force. Columbia University Press, 1989 — 55-bet. ISBN 0-231-06636-8. „coriolis Stommel.“
↑ R. B. Partridge. 3 K: The Cosmic Microwave Background Radiation. Cambridge University Press, 1995 — 279–280-bet. ISBN 0-521-35254-1. ^{[sayt ishlamaydi]}, D. Lynden-Bell. Relativistic Astrophysics, Igorʹ Dmitrievich Novikov, Bernard Jean Trefor Jones, Draza Marković (Editors), 1996 — 167-bet. ISBN 0-521-62113-5. , and Ralph A. Alpher and Robert Herman. Big bang cosmology and the cosmic black-body radiation, in Proc. Am. Philos. Soc. vol. 119, no. 5 (1975), 1975 — 325–348-bet. ISBN 9781422371077. Henning Genz. Nothingness. Da Capo Press, 2001 — 275-bet. ISBN 0-7382-0610-5. ^{[sayt ishlamaydi]}

[centrifugal-1] See Louis N. Hand. Analytical Mechanics. Cambridge University Press, 1998 — 324-bet. ISBN 0-521-57572-9. and I. Bernard Cohen. The Cambridge companion to Newton. Cambridge University Press, 2002 — 43-bet. ISBN 0-521-65696-6.

[Cohen-2] Robert Disalle. The Cambridge Companion to Newton I. Bernard Cohen: . Cambridge University Press, 2002 — 43-bet. ISBN 0-521-65696-6.

[3] Gilson, James G. (September 1, 2004), Mach's Principle II, arXiv:physics/0409010, Bibcode:2004physics...9010G

[spheres-4] See the Principia on line at „Definitions“. The Principia. Qaraldi: 2010-yil 13-may.

[Born-5] Max Born. Einstein's Theory of Relativity. Courier Dover Publications, 1962 — 80-bet. ISBN 0-486-60769-0. „inertial forces.“

[Born2-6] Max Born. Einstein's Theory of Relativity, Greatly revised and enlarged, Courier Dover Publications, 1962 — 82-bet. ISBN 0-486-60769-0. „inertial forces.“

[Wheeler-7] Ignazio Ciufolini. Gravitation and Inertia. Princeton University Press, 1995 — 386–387-bet. ISBN 0-691-03323-4.

[Born1-8] Max Born. Einstein's Theory of Relativity. Courier Dover Publications, 1962 — Figure 43, p. 79-bet. ISBN 0-486-60769-0. „inertial forces.“

[Novikov-9] D. Lynden-Bell. Relativistic Astrophysics Igorʹ Dmitrievich Novikov: . Cambridge University Press, 1996 — 167-bet. ISBN 0-521-62113-5.

[Dainton-10] Barry Dainton. Time and Space. McGill-Queen's Press, 2001 — 175-bet. ISBN 0-7735-2306-5.

[Knudsen-11] Jens M. Knudsen. Elements of Newtonian Mechanics. Springer, 2000 — 161-bet. ISBN 3-540-67652-X.

[Joos-12] 12,0 ^12,1 Georg Joos. Theoretical Physics. New York: Courier Dover Publications, 1986 — 233-bet. ISBN 0-486-65227-0.

[Taylor2-13] John Robert Taylor. Classical Mechanics. Sausalito CA: University Science Books, 2004 — 348–349-bet. ISBN 1-891389-22-X.

[Srivastava-14] Many sources are cited in Fictitious force. Here are two more: PF Srivastava. Mechanics. New Delhi: New Age International Publishers, 2007 — 43-bet. ISBN 978-81-224-1905-4. and NC Rana. Mechanics. New Delhi: Tata McGraw-Hill, 2004 — 99ff-bet. ISBN 0-07-460315-9.

[15] The case ω_S < 0 applies to the earlier example with spheres at rest in the inertial frame.

[Stommel-16] This result can be compared with Eq. (3.3) in Stommel and Moore. They obtain the equation ${\ddot {r}}-\omega _{S}^{2}r=2\omega _{S}\omega _{R}r+\omega _{R}^{2}r$ where $\omega _{S}={\dot {\phi }}'$ and $\omega _{R}=\Omega \$ in their notation, and the left-hand side is the radial acceleration in polar coordinates according to the rotating observers. In this example, their Eq. (3.4) for the azimuthal acceleration is zero because the radius is fixed and there is no angular acceleration. See Henry Stommel. An Introduction to the Coriolis Force. Columbia University Press, 1989 — 55-bet. ISBN 0-231-06636-8. „coriolis Stommel.“

[rotate-17] R. B. Partridge. 3 K: The Cosmic Microwave Background Radiation. Cambridge University Press, 1995 — 279–280-bet. ISBN 0-521-35254-1. ^{[sayt ishlamaydi]}, D. Lynden-Bell. Relativistic Astrophysics, Igorʹ Dmitrievich Novikov, Bernard Jean Trefor Jones, Draza Marković (Editors), 1996 — 167-bet. ISBN 0-521-62113-5. , and Ralph A. Alpher and Robert Herman. Big bang cosmology and the cosmic black-body radiation, in Proc. Am. Philos. Soc. vol. 119, no. 5 (1975), 1975 — 325–348-bet. ISBN 9781422371077. Henning Genz. Nothingness. Da Capo Press, 2001 — 275-bet. ISBN 0-7382-0610-5. ^{[sayt ishlamaydi]}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]