Hajm

Hajm — geometrik jism sirtlari bilan chegaralangan fazo qismi. Oddiy holatlarda qirrasi birga teng kublar soniga teng koʻriladi.

Hajm (matematikada) — geometrik jismlarning sonli xarakteristikalaridan biri. U chekli sondagi birlik kublarga ajratish mumkin boʻlgan jismlar uchun shu kublarning soniga teng . Qadimda prizma shaklli toʻsinlar, silindr, toʻliq hamda kesik piramida va boshqalarning hajmlarini hisoblashni bilishgan. Arximed ixtiyoriy yuza va hajmni aniqlash mumkin boʻlgan umumiy usulni topgan. Arximed gʻoyalari integral ^sksobning asosini tashkil etgan. U oʻzining usullari yordamida koʻhna matematikada oʻrganilgan deyarli hamma jismlarning yuzalari va hajmlarini aniqlagan. Jism hajmiga matematik jihatdan taʼrif berish va uni hisoblash formulasining yaratish masalasi yassi figura yuziga doir muhokamalardan farq qiladi; har qanday (yassi) figurani toʻgʻri chiziqlar kesib, uni kvadratchalarga ajratish mumkin, ammo ixtiyoriy koʻp yoqlikda bu usul bilan kub hosil qilish mumkin emas. Yevklid uch yoqli piramida hajmiga taʼrif berish va uni hisoblash uchun piramidaga cheksiz ichki prizmalar chizish usulini qoʻllagan. Uch oʻlchamli jismlar hajmi quyidagi xossalarga ega: 1) nomanfiy; 2) additiv, yaʼni umumiy nuqtaga ega boʻlmagan R va £> jismlar uchun \® va U(£>) hajmlar aniqlangan boʻlsa, bu jismlar birlashmasining hajmi, hajmlar yigʻindisiga teng:\(R^0) = \® + \(0); 3) harakatga nisbatan invariant: R va £> jismlar uchun hajmlar aniqlangan boʻlib, ular kongruent boʻlsa, U®=\(0) boʻladi; 4) birlik kubning hajmi birga teng.

Yuqoridagi xossalardan hajmning monotonligi kelib chiqadi: R va £> jismlar uchun RsS? boʻlsa, u holda U®<U(0) munosabat bajariladi. Oʻxshash jismlarning hajmlari nis-bati oʻxshashlik koeffitsiyentining kubiga teng.

Uch oʻlchamli jismning hajmi tushunchasi ixtiyoriy p oʻlchamli yevklid fazosi K" ning qism toʻplami uchun umumlashtiriladi. p oʻlchamli hajmni hisoblash p karrali integralni hisoblashga keltiriladi. Ye parallelepiped a,, a2, au…, apvektorlardan yasalgan boʻlsa, uning hajmi \(Ye) = L yoye! || d, a ||| formuladan topiladi (bu yerda ildiz ostidagi ifoda Gram determinantining mutlaq qiymatiga teng). Oʻlchov tushunchasi hajm tushunchasining umumlashmasidir. Baʼzi hollarda hajm va oʻlchov tushunchalari sinonim sifatida ishlatiladi.

Formulalar

Figura	Formulalar	Tasvir
Kub	$V=a^{3}\;$
Cuboid (to'rtburchaklar parallelepiped)	$V=abc$
Prizma	$V=Bh$
Piramida (matematika)	$V={\frac {1}{3}}Bh$
Parallelepiped	$V=abc{\sqrt {K}}$ ${\begin{aligned}K=1&+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}$
Tetraedr	$V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,$
Shar	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
Ellipsoid	$V={\frac {4}{3}}\pi abc$
Silindr	$V=\pi r^{2}h$
Konus	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$
Solid of revolution (eng.)	$V=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x$