Toʻplam (matematika)

Bu maqola Toʻplam (matematika) haqidadir. Mavzuning boshqa maʼnolari uchun Toʻplam (matematika) (maʼnolari) sahifasiga qarang.

Toʻplam  – matematikaning boshlangʻich tushunchasidir. Bu tushuncha matematika faniga toʻplamlar nazariyasining asoschilari boʻlgan Chexiya matematigi B. Boltano va nemis matematigi Jorje Kontor (1845-1918) tomonlaridan 1870 – yil kiritilgan. Masalan butun sonlar toʻplami; sinfdagi oʻquvchilar toʻplami vahokazo. Toʻplamni tashkil etgan obyektlar uning elementlari deyiladi. Hayotda uchraydigan soʻzlar toʻplam maʼnosida ishlatiladi. Masalan „yigʻilish“, „poda“ va hokazolar. Toʻplam fikrda bir butun deb qaraluvchi koʻplikdir.

Toʻplam

A toʻplam

Asoschi: Chexiya matematigi B. Boltano va nemis matematigi Jorje Kontor (1845-1918)

Ko'rinishi : A = {a, b, c …}

Belgilar :∈; ∉; ∅; ⊄; ∩; ∪

Asosiy tushunchalar

Toʻplam elementlari vergul bilan ajratilgan roʻyxati yoki uning elementlarini tavsiflovchi xususiyati bilan { } qavslar ichida tasvirlanadi. Toʻplamlar obyektlar boʻlgani sababli, aʼzolik munosabati toʻplamlarga ham tegishli boʻlishi mumkin. Toʻplam odatda qulaylik uchun lotin alifbosining bosh harflari, masalan, A, B, C, … , uning elementlari esa kichik lotin alifbosida belgilanadi, masalan, a, b, c, … . Elementlari a, b, c … boʻlgan A toʻplam qavslar yordamida A = {a, b, c …} koʻrinishda yoziladi. {6, 12}, {12, 6}, {6, 12, 12, 6} yozuvlar bitta toʻplamni anglatadi.

Masalan  

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – oʻnlik sanoq sestemasidagi raqamlar toʻpami, V = {a, e, i, o, u} – ingliz tilidagi unli hariflar toʻplami.

• x ning A toʻplamning elementi ekan x ∈ A kabi, elementi esa x ∉ A kabi yoziladi va birinchi holda " x element A ga tegishli ", ikkinchi holda „x element A ga tegishli emas“ deb oʻqiladi.

Masalan  

A = {0, 1, 2, 3} uchun 3 ∈ A, ammo 4 ∉ A

• Agar toʻplamni tashkil qilgan elementlar chekli sonda boʻlsa, bunday toʻplam chekli toʻplam, aks holda cheksiz toʻplam deyildi.

Masalan  

A = {0, 1, 2, 3} toʻplam chekli, N = {1, 2, …, n} barcha natural son sonlar toʻplami esa cheksiz toʻplam.

• n(A) deb A toʻplamning barcha elementlar sonini belgilasak A = {2, 3, 5, 8, 13, 21} toʻplamning barcha elementlari soni soni 6 ga teng boʻlgani uchun, n(A) = 6 boʻladi.
• Birorta ham elementga ega boʻlmagan toʻplam boʻsh toʻplam deyiladi va ∅ kabi belgilanadi.

∅ toʻplam ham chekli hisoblanadi va uning n(∅)= 0. Cheksiz A toʻplam uchun n(A) = ∞ belgilash qabul qilingan.

• Agar A toʻplamning hamma elementlari B toʻplamga tegishli boʻlsa, A toʻplam B toʻplamning qisim toʻplami deyiladi A ⊆ B kabi yoziladi.

Bu holatda „A toʻplam B da yotadi“ yoki „A toʻplam B ning qismi“ ham deb yuritiladi.

{ a } toʻplam ∅ va { a }, yaʼni ikkita qismdan iborat.

{ a, b} toʻlam esa toʻrtta: ∅, { a }, { b } va {a, b} qisim toʻplamlarga ega.

• A toʻplamning B toʻplamga tegishli boʻlmagan elementlari mavjud boʻlsa, A toʻplamning Bning qism toʻplami boʻla olmaydi va bu holat A ⊄ B kabi yoziladi.

Toʻplamlarning birlashmasi va kesishmasi

1)

A, B toʻplamlarning birlashmasi deb bu toʻplamlardan kamida bittasining elementi boʻlgan elementi boʻlgan elementlardan tashkil topgan toʻplamga aytiladi.

A, B toʻplamga toʻplamning birlashmasi A ∪ B kabi belgilanadi.

Masalan  

A = {1, 2} va B = {4, 5} berilgan A ∪ B ={1, 2, 4, 5}

2)

A, B toʻplamlarning kesish deb bu toʻplamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan toʻplamga aytiladi. A, B toʻplamlarning kesishmasi A ∩ B bilan belgilanadi.

Masalan  

A = {1, 2} va B = {2, 5} berilgan A ∩ B ={ 2 }

Yana qarang

• To'plam nazariyasi
• Sonlar toʻplami
• Matematika