Topologik fazo

Topologik fazo — biror yoʻsinda nuqtalari bilan qism toʻplamlari oʻrtasida yaqinlik tushunchasi kiritilgan fazo, topologiyanpng oʻrganish obʼyekti. Topologik fazoni taʼriflashning tabiiy yoʻli — nuqtaning atrofi tushunchasini asos qilib olish. Hozir, odatda, Topologik fazo ochiq toʻplam tushunchasi orqali aniqlanadi: ixtiyoriy X toʻplamni Topologik fazoga aylantirish uchun uning ayrim qismtoʻplamlari "ochiq" deb eʼlon qilinadi. Bunda barcha ochiq toʻplamlar oilasi (uni odatda, Topologik fazoning topologiyasi deb aytiladi) quyidagi xossalarga ega boʻlishi lozim: 1) chekli sondagi ochiq toʻplamlar kesishmasi har doim ochiq toʻplam; 2) ixtiyoriy oila tashkil etuvchi ochiq toʻplamlar birlashmasi har doim ochiq toʻplam. Bu ikki aksiomadan xususiy holda quyidagi, odatda, alohida aksiomalar deb qaraladigan 2 xossa kelib chiqadi; 3) X toʻplam (yaʼni butun fazo) ochiq; 4) boʻsh 0 toʻplam ochiq.

Hozirgi zamon mat.sida oʻrganiladigan obʼyektlarning deyarli hammasi: chiziqlar, sirtlar va ularning umumlashmalari, sonlar toʻplamlari, metrik hamda funksional fazolar va hokazolar. Topologik fazoning aksiomalar tizimi ixchamligiga qaramay koʻpdankoʻp, xususan, nihoyatda chuqur va keng xossa hamda tushunchalarni aniklash, teoremalarni isbotlash, yirik nazariyalar yaratish va rivojlantirishga imkon beradi. Mas., bir Topologik fazoning ikkinchisiga akslantirishida har bir ochiq toʻplamning proobrazi (asli) ochiq boʻlsa, u uzluksiz deb ataladi; agar ochiq toʻplamlardan iborat istalgan qoplamadan chekli qoplama ajratish mumkin boʻlsa, Topologik fazo kompakt deyiladi; kompakt Topologik fazoda aniklangan uzluksiz sonli funksiya chegaralangan boʻladi; Topologik fazoni ikkita boʻsh boʻlmagan ochiq toʻplamlarga ajratish mumkin boʻlmasa, u bogʻlangan (tutash) boʻladi va hokazo.