Viete formulalari

Viete formulalari (talaffuzi: Viyet) — koʻphadning koeffitsiyentlarini uning ildizlari orqali ifodalovchi formulalar. Bu formulalar bilan koʻphadning ildizlari toʻgʻriligini tekshirish qulay. Shuningdek, bu formulalar yordamida berilgan ildizlar boʻyicha koʻphadni tuzish mumkin. Bu formulalar farang matematigi François Viète (talaffuzi: Fransua Viyet) (fransuzcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Viete) nomi bilan ataladi. Viete formulalari koʻproq algebrada ishlatiladi.

Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchun aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan oldinroq oʻz asarlarida yozgan.

Qoidalar

Asosiy formulalar

n-darajali har qanday koʻphad

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,$ (bu yerda koeffitsiyentlar haqiqiy yoki kompleks son boʻlishi mumkin va a_n ≠ 0)

algebraning asosiy teoremasiga koʻra n ta (bir-biridan farqli boʻlishi shart boʻlmagan) x₁, x₂, …, x_n kompleks ildizga ega.

Viete formulalari koʻphadning koeffitsiyentlarini { a_k } shu koʻphad ildizlarining yigʻindisi va koʻpaytmasi { x_i } bilan quyidagicha qilib bogʻlaydi:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

Boshqacha qilib aytganda, a_n−k (n − k) inchi koeffitsiyenti ildizlarning barcha mumkin boʻlgan koʻpaytmalarini har safar k ta olingan yigʻindisiga quyidagicha bogʻlangan:

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}.$

Bu yerda k = 1, 2, …, n. Bu yerda yana i_k indekslarini oʻsib borish tartibida yozamiz. Chunki ildizlarning har bir koʻpaytmasi faqat bir marta yozilishi kerak. Viete formulalarining chap tomoni ildizlarning elementar simmetrik funksiyalaridir.

Halqalarga umumlashtirish

Viete formulalari koʻpincha koeffitsiyentlari har qanaqa butunlik oblasti (inglizcha: integral domain) R da joylashgan koʻphadlar bilan ishlatiladi. Bu holda $a_{i}/a_{n}$ boʻlaklari R ning ulushlar halqasiga (inglizcha: ring of fractions) kiradi. Agar $a_{i}/a_{n}$ R da qaytariluvchi boʻlsa boʻlaklar R ning oʻziga kiradi. $x_{i}$ ildizlar algebraik yopiq maydonda (inglizcha: algebraically closed field) olinadi. Odatda R butun sonlarning halqasidir va kasrlar maydoni ratsional sonlar maydonidir. Algebraik yopiq maydon boʻlsa kompleks sonlar maydonidir. Bu holda Viete formulalari foydalidir. Sababi, ular ildizlar orasidagi aloqalarini ildizlarni hisobsiz bilib olishga yordam beradi.

Butunlik oblasti boʻlmagan kommutativ halqa (yoki abel halqasi) koʻphadlari uchun Viete formulalarini har doim ham emas, balki $a_{i}$ lar $x_{i}$ lardan hisoblangandagina ishlatsa boʻladi. Masalan, 8 modulli butun sonlari halqasida $x^{2}-1$ koʻphadida toʻrt ildiz bor. Bular 1, 3, 5, 7 dir. Agar $x_{1}=1$ va $x_{2}=3$ boʻlsa, Viete formulalari toʻgʻri boʻlmaydi.

Misollar

Kvadrat tenglama

Teorema

Agar

$x^{2}+px+q=0\,$

keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega boʻlsa, u holda ularning yigʻindisi -pga, koʻpaytmasi esa qga teng boʻladi.

Yaʼni,

${\begin{cases}~x_{1}+x_{2}=-p\\~x_{1}x_{2}=q\end{cases}}$ (1)

Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining yigʻindisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga, ildizlarining koʻpaytmasi esa ozod hadga teng.

Misol

$x^{2}-5x+6=0$

kvadrat tenglamasi berilgan boʻlsin. Bu tenglamada ikki ildiz, yaʼni $x_{1}$ va $x_{2}$ mavjud deb qaralsin. Viete formulalariga koʻra, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻlishi kerak:

${\begin{cases}~x_{1}+x_{2}=5\\~x_{1}x_{2}=6\end{cases}}$

Bu yerda ildizlarning koʻpaytmasi musbat son boʻlgani uchun ildizlar ham musbat sonlar ekanligini bilib olish mumkin. Ildizlar musbat butun sonlar deb tasavvur qilsak, faqat ikki holdagina koʻpaytma 6 ga teng boʻladi, yaʼni $1*6=6$ va $2*3=6$ hollarida. Viete teoremasining ikkinchi sharti boʻyicha bu yerda ildizlar yigʻindisi 5 ga teng boʻlishi lozim. 1 bilan 6 ning yigʻindisi bu shartni qanoatlantirmaydi. Ammo 2 va 3 sonlarining yigʻindisi berilgan shartni qanoatlantiradi: $2+3=5$. Demak, tenglamaning ildizlari 2 va 3 ga teng.

Yana boshqa munosabatlar

Keltirilgan kvadrat tenglama

$x^{2}+px+q=0\,$

ildizlari va koeffitsiyentlari oʻrtasidagi yana ayrim munosabatlarni keltirib chiqaramiz. Ildizlar kvadratlarining yigʻindisini topamiz:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}.$

Endi (1) dan foydalanib quyidagicha yozamiz:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=p^{2}-2q.$ (2)

Ildizlar kublarining yigʻindisini topamiz:

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=(x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}).$

(1) va (2) formulalardan foydalanib, quyidagicha yozamiz:

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=-p(p^{2}-3q).$

Teskari teorema

Viete teoremasiga teskari teorema oʻrinlidir.

Teorema: Agar $x_{1}$ va $x_{2}$ sonlar shunday boʻlsaki, $x_{1}+x_{2}=-p$, $x_{1}x_{2}=q$ boʻlsa, u holda $x_{1}$ va $x_{2}$ lar kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat boʻladi.

Bu teorema bir qator hollarda kvadrat tenglama ildizlarini ildizlar formulasidan foydalanmasdan topishga imkon beradi.

Uchinchi darajali tenglama

Agar

$x_{1},x_{2},x_{3}$ 

$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ uchinchi darajali tenglama ildizlari boʻlsa, unda

${\begin{cases}x_{1}-x_{2}-x_{3}={\frac {b}{a}}\\(x_{1}/x_{2}-x_{1}/x_{3}-x_{2}/x_{3})={\frac {c}{a}}\\x_{1}/x_{2}/x_{3}={\frac {d}{a}}\end{cases}}$

Isboti

Viete formulalarini quyidagi tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$.

Bu ifoda toʻgʻri, chunki $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ bu koʻphadning barcha ildizlaridir. Isbotlash uchun koʻphadni yoyish kerak. Keyin oʻng tomondagi faktorlarni koʻpaytirish kerak. Soʻngra $x$ning har bir darajasi koeffitsiyentlarini aniqlash kerak.

$(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}),$ ifodasini yoysak, hadlar $(-1)^{n-k}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}x^{k}$ boʻladi. Bu yerda $x_{i}$ koʻpaytmaga kiritilgan-kiritilmaganiga qarab $b_{i}$ yoki 0, yoki 1 boʻladi. k boʻlsa kiritilmagan $x_{i}$ larning sonidir. Shundan kelib chiqib, koʻpaytmadagi faktorlarning umumiy soni n dir. Bu yerda n ta binar tanlov boʻlgani uchun ($x_{i}$ ni yoki x ni kiritish) $2^{n}$ ta had bor. Geometrik jihatdan bu hadlarni giperkub uchlari deb tushunish mumkin.

Bu hadlarni daraja boʻylab guruhlash $x_{i}$ dagi sodda simmetrik koʻphadlarini chiqaradi. Yaʼni, $x_{i}$ ning k-karra bir-biridan farqli koʻpaytmalarini beradi.

Tarixi

Viete formulalari farang matematigi François Viète (1540-1603) nomi bilan ataladi

Viete formulalari 16-asrda yashagan farang matematigi François Viète (talaffuzi: Fransua Viyet) (fransuzcha: François Viète, lotincha: Franciscus Viete) nomi bilan ataldi. Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchungina aniqlagan. Viete tenglamaning musbat ildizlari va nomaʼlum qiymatning turli darajalardagi koeffitsiyentlari orasidagi bogʻlanishni aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos.

1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan avvalroq oʻz asarlarida yozgan. Hutton bunday deb yozadi:

…[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products. He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.

yaʼni,

…Girard darajalar koeffitsiyentlarini ildizlar yigʻindisi va ularning koʻpaytmasidan tuzish umumiy prinsipini birinchilardan boʻlib anglagan. U birinchi boʻlib har qanday tenglama ildizlari darajalarini qoʻshish qoidalarini oʻylab topgan.

Viete tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasida munosabatlarni qisman anglagan boʻlsa ham, u birinchilarda boʻlib shu bogʻlanishni aniqlagan. Koʻpchilik Vietening bu formulalarning rivojlanishida qoʻshgan hissasi katta deb hisoblaydi. Shu sabab bu formulalarni uning nomi bilan atash xato emas.

Yana qarang

• Kvadrat tenglama

Havolalar

• Viete formulalari, Math World ^(ingl.)
• Koʻphadni koʻpaytuvchilarga boʻlish. Viete formulalari, Rezolventa ^(rus.)
• Viete teoremasining kavdadrat tenglamalarni yechishda ishlatilishi, „Ochiq dars“ festivali ^(rus.)