Toʻgʻri burchakli uchburchak

Toʻgʻri burchakli uchburchak – Bitta burchagi toʻgʻri, yaʼni 90° (yoki $\pi /2$ radian) boʻlgan uchburchak.

Toʻgʻri burchakli uchburchak

Uchburchakning toʻgʻri burchagi qarshisida yotgan tomon gipotenuza (rasmda $c$ bilan belgilangan) deb ataladi. Toʻgʻri burchakni tashkil qiluvchi ikkita tomon uchburchak katetlari deb ataladi (rasmda $a$ va $b$ tomonlar)

Har bir toʻgʻri burchakli uchburchakka diagonali yordamida boʻlingan yarim toʻgʻri toʻrtburchak sifatida qarash mumkin.

Xossalar

Burchaklar

Toʻgʻri burchakli uchburchakning toʻgʻri boʻlmagan burchaklari, bir-birini toʻldiruvchi burchaklar hisoblanadi. Ularning yigʻindisi 90° ga teng. Bu burchaklardan birini α, ikkinchisini β deb qarasak, trigonometriyaga koʻra, quyidagilar oʻrinli:

$sin\alpha =cos\beta$

$cos\alpha =sin\beta$

$tg\alpha =ctg\beta$

$ctg\alpha =tg\beta$

Pifagor teoremasi

Toʻgʻri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va katetlari Pifagor teoremasini qanoatlantiradi: ikkita katet kvadratlari yigʻindisi gipotenuzaning kvadratiga tengdir: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Agar toʻgʻri burchakli uchburchakning barcha tomonlari butun sonlardan iborat boʻlsa, bunday uchburchak Pifagor uchburchagi deyiladi, uchburchakni tashkil qiluvchi tomonlar uzunliklari esa birgalikda Pifagor sonlarini hosil qiladi.

Agar toʻgʻri burchakli uchburchak teng yonli boʻlsa va uning kateti $a$ ga teng boʻlsa, uchburchak gipotenuzasi, $c$, √2$a$ ga tengdir:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ va $a=b$ ga koʻra, $c^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}\Rightarrow c=$ √2$a$ ga erishiladi.

Trigonometriyada qoʻllanishi

Toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari va burchaklari trigonometriyada keng qoʻllaniladi. Toʻgʻri burchakli uchburchakning bir burchagi 0° $<\alpha <$ 90° boʻlsin. Aytaylik ushbu α burchakka yopishgan katet $a$, uning qarshisidagi katet $b$, uchburchak gipotenuzasi $c$ boʻlsin. U holda α burchakning trigonometrik funksiyalardagi qiymatlari quyidagicha topiladi:

• α burchak sinusi deb, ushbu burchak qarshisidagi katetning gipotenuzaga nisbati tushuniladi: $sin\alpha ={\frac {b}{c}}$
• α burchak kosinusi deb, ushbu burchakka yopishgan katetning gipotenuzaga nisbati tushuniladi:

$cos\alpha ={\frac {a}{c}}$

• α burchak tangensi deb, ushbu burchak qarshisidagi katetning unga yopishgan katetga nisbati tushuniladi: $tg\alpha ={\frac {b}{a}}$
• α burchak kotangensi deb, ushbu burchakka yopishgan katetning uning qarshisidagi katetga nisbati tushuniladi: $ctg\alpha ={\frac {a}{b}}$

Bir burchagi 30° boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak

Agar toʻgʻri burchakli uchburchakning bir burchagi 30° boʻlsa va uning qarshisidagi katet $a$ ga teng boʻlsa, $sin30$° = ${\frac {1}{2}}$ boʻlgani sababli uchburchak gipotenuzasi $2a$ ga teng. $cos30$° = ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ boʻlgani sababli, uchburchakning ikkinchi kateti ${\sqrt {3}}a$ ga teng.

Tashqi va ichki chizilgan aylana radiuslari

Toʻgʻri burchakli uchburchakning katetlari $a$ va $b$, gipotenuzasi esa $c$ boʻlsin.

U holda, unga ichki chizilgan aylana radiusi $r$ quyidagi formula orqali topiladi:

$r={\frac {a+b-c}{2}}$

Unga tashqi chizilgan aylana radiusi $R$ ushbu formula bilan topiladi:

$R={\frac {c}{2}}$

Gipotenuzaga tushirilgan mediana

Toʻgʻri burchakli uchburchak gipotenuzasiga tushirilgan mediana gipotenuzaning yarmiga tengdir:

$m_{c}={\frac {c}{2}}$

Gipotenuzaga tushirilgan balandlik

Toʻgʻri burchakli uchburchak gipotenuzasiga tushirilgan balandlik va u ajratgan proyeksiyalar

Toʻgʻri burchakli uchburchak gipotenuzasiga balandlik tushirilganda, balandlik ajratgan kesmalar katetlarning proyeksiyalari deb atadi. Rasmda, $p$ – bu $r$ katetning gipotenuzadagi proyeksiyasi, $q$ esa, $s$ katetning gipotenuzadagi proyeksiyasi.

Toʻgʻri burchakli uchburchak gipotenuzasiga tushirilgan balandlikning kvadrati u hosil qilgan kesmalar koʻpaytmasiga teng:

Rasmda, $h^{2}=pq$

Toʻgʻri burchakli uchburchak yuzasini topish

Tomonlari $a$, $b$, $c$ boʻlgan, unga ichki chizilgan aylana radiusi $r$, tashqi chizilgan aylana radiusi $R$ boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak yuzasi $S$ quyidagi yoʻllar orqali topilishi mumkin.

• $S={\frac {ab}{2}}$
• $S=r(2R+r)$
• $S={\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {a+b-c}{2}}$

Yana qarang

• Pifagor teoremasi
• Toʻgʻri burchak
• Uchburchak
• Mediana